-a求直线 l_1:a_1x+b_1y+c_1=0 关于直线 l_0: a_0x+b_0y+c_0=0 对称的直线 l_1^\prime 方程

结论 由 \dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_0x+b_0y+c_0} =\dfrac{2(a_0a_1+b_0b_1)} {a_0^2+b_0^2} 整理可得 l_1^\prime 的方程

下面证明此结论并举例运用

如图，设点 A(x,y) 为直线 l_1^\prime 上任一点对称句，过点 A 作 l_0 和 l_1 的垂线，垂足分别是 P,B对称句，延长 AP 交 l_1 于 A^\prime ,设 M 是三线的交点，

易知\widehat{(l_0,l_1)} =\angle BAA^\prime =\theta

\cos\theta=\dfrac{|AB|}{|AA^\prime|}=\dfrac{|AB|}{2|AP|}

\therefore \dfrac{|AB|}{|AP|}=2\cos\theta

l_1,l_0 的方向向量依次为 \bm{s_1}=(b_1,-a_1),\bm{s_0}=(b_0,-a_0)

\therefore \cos\theta=\dfrac{\bm{s_1}\cdot\bm{s_0}}{|\bm{s_1}|\times|\bm{s_0}|}

=\dfrac{a_0a_1+b_0b_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_0^2+b_0^2}}

\dfrac{|AB|}{|AP|} =\dfrac{ \dfrac{a_1x+b_1y+c_1} {\sqrt{a_1^2+b_1^2} } } {\dfrac{a_0x+b_0y+c_0} {\sqrt{a_0^2+b_0^2} } }

(注意， B,P 必在 l_1^\prime 的同侧，运用点到直线距离公式时不用考虑绝对值)

=2\cos\theta= 2\dfrac{a_0a_1+b_0b_1}{ \sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_0^2+b_0^2} }

整理得

\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_0x+b_0y+c_0} =\dfrac{2(a_0a_1+b_0b_1)} {a_0^2+b_0^2}

解读：分母分别是对称轴方程与 x,y 系数平方和。上式整理即得 l_1^\prime 的方程

例如求直线 x-y-2=0 关于直线 L:3x-y+3=0 对称的直线方程

\dfrac{ x-y-2}{3x-y+3}=\dfrac{2(1\times3+(-1)\times(-1))}{3^2+(-1)^2}

整理即得 7x+y+22=0

特别地，有总结说： 求与直线 ax+by+c=0 关于 x=x_0 对称的直线方程,先写成 a{\color{red}{(x-x_0)}}+by+c+ax_0=0 的形式,再写成 a{\color{red}{(x_0-x)}}+by+c+ax_0=0 形式,化简后即是所求值.

在这里也可以用

\dfrac{ax+by+c}{x-x_0}=\dfrac{2a\times1+0}{1^2+0^2}=2a 整理得出。